橢圓形封頭的扭轉變形形式解析

橢圓形封頭的扭轉變形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子軸線的兩個力矩引起的管子變形形式。其變形點表現為管道元件的任意兩個橫載面繞管子的中心軸線發生相對轉動，見圖6-3所示：

圖6-3 管子的扭轉變形

根據圣維南原理可知，在橢圓形封頭的任一截面上的內力（矩）M_n是均勻分布的，且根據力的平衡法則可知，M_n =M。

M_n也是一個矢量，且規定：按右手螺旋法則，當矢量方向與截面的外法線方向一致時，M_n為正，反之為負。

對于橢圓形封頭的扭轉變形，其應力在管子各橫截面上的分布已不再是均勻的。從圖6-4中可以看出，距軸線中心O越近，變形量越小。

圖6-4所示的為一從受扭轉變形的管子上截取的微元，微元沿軸線長度為dx。在扭轉力矩的作用下，位于半徑R_i上的a點因發生微小錯動到達a’點，此時也相當于oa’線相對于oa線轉動了一個dj角度。那么由其幾何關系可知：aa’=R_i dj。而ba線發生的角度改

變（即剪應變）¡_i應為：

…………………（a）圖6－4 扭轉變形微元

式(a)即為橢圓形封頭扭轉變形時的幾何方程。由公式可以看出，橫截面上任意點的剪應變與該點到管子軸中心線的距離成正比，而到軸中心線距離相同的點（即在同一園周上的點），其剪應變相同。

由虎克定律知道，在半徑R_i上任意點的剪應力τ_i=G.r_i，將(a)式代入可得：

…………………………………………………………（b）

式(b)即為橢圓形封頭扭轉變形時的物理方程。由式中可以看出，橫截面上任意點的剪力與該點到管中心的距離成正比，且同一園周上的應力相等。由此也可以看出，此時的剪應力在管子橫截面上已非均勻分布。

式(b)中由于有dj/dx這一未知條件，故仍無法計算剪應力，此時須借助于靜力平衡方程。

圖6-5表示了橢圓形封頭某一橫截面上的內力微元，微元的寬度為dR_i，周長為2πR_i，面積為dA_i=2πR_i.dR_i。

由于dR_i 小，可認為在微元中的剪應力是均勻分布的，即此時面積dA_i上的剪力為：

N_i=τ_idA_i

扭矩為：

M_i=N_iR_I＝τ_iR_I dA_i

對整個管道橫截面積積分可得：

…………………（c）

將式（b）代入式（c）可得：

圖6-5 扭轉變形內力微元

在該積分方程中，只有R_i是變量，故可將常量移出積分外。設，代入上式可以得到橢圓形封頭：

………………………………（d）

將式(b)代入式(d)可得：

對上式進行公式變換得：

……………………………………………………………（e）

由式(e)可以看出，當R_i=D/2時，τ_i ，即剪應力發生在橢圓形封頭橫截面的外園上，此時有：

設并代入上式可得：

………………………………………………………………(6-3)

式6-3即為橢圓形封頭受扭轉載荷時的強度校核公式。同樣，通過式子變換可以進行管子受扭轉載荷時的截面參數計算和確定許可扭轉載荷。

通常將J_p叫做管道元件的扭轉慣性矩，將W_n叫做管道元件的抗扭截面模量。通過J_p和W_n的定義式很容易求出圖6-5所示管子的表達式：

同樣，一般很難查到橢圓形封頭用材料的扭轉許用剪應力[τ]。試驗證明，扭轉許用剪應力[τ]與拉伸許用應力[σ]存在如下近似關系：

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